Как звучит закон сохранения энергии. Энергия. Закон сохранения энергии. Упругая деформация - что это

Потенциальная энергия - это, скорее, абстрактная величина, ведь любой предмет, который имеет некоторую высоту над поверхностью Земли, уже будет обладать определенным количеством потенциальной энергии. Она рассчитывается путем умножения скорости свободного падения на высоту над Землей, а также на массу. Если же тело двигается, можно говорить о наличии кинетической энергии.

Формула и описание закона

Результат сложения кинетической и потенциальной энергии в закрытой от внешнего воздействия системе, части которой взаимодействуют благодаря силам упругости и тяготения, не изменяется - так звучит закон сохранения энергии в классической механике. Формула данного закона выглядит так: Ек1+Еп1=Ек2+Еп2. Здесь Ек1 является кинетической энергией определенного физического тела в конкретный момент времени, а Еп1 - потенциальной. То же самое верно и для Ек2 и Еп2, но уже в следующий временной промежуток. Но этот закон верен только в том случае, если система, в которой он действует, является замкнутой (или консервативной). Это говорит о том, что значение полной механической энергии не изменяется, когда на систему действуют лишь консервативные силы. Когда в действие вступают неконсервативные силы, часть энергии изменяется, принимая другие формы. Такие системы получили название диссипативных. Закон сохранения энергии работает, когда силы извне никак не действуют на тело.

Пример проявления закона

Одним из типичных примеров, иллюстрирующих описанный закон, служит проведение опыта с шариком из стали, который падает на плиту из этого же вещества или на стеклянную, отскакивая от нее примерно на ту же высоту, где он находился до момента падения. Данный эффект достигается за счет того, что когда предмет движется, энергия преобразуется несколько раз. Первоначально значение потенциальной энергии начинает стремиться к нулю, в то время как кинетическая увеличивается, но после столкновения она становится потенциальной энергией упругой деформации шара.

Это продолжается до момента полной остановки предмета, в который он начинает свое движение вверх за счет сил упругой деформации как плиты, так и упавшего предмета. Но при этом в дело вступает потенциальная энергия тяготения. Так как шарик при этом понимается примерно на ту же высоту, с которой он и упал, кинетическая энергия в нем одна и та же. Кроме этого, сумма всех энергий, действующих на движущийся предмет, остается одинаковой во время всего описанного процесса, подтверждая закон сохранения полной механической энергии.

Упругая деформация - что это?

Для того чтобы полностью понять приведенный пример, стоит более подробно разобраться с тем, что такое потенциальная энергия упругого тела - это понятие означает обладание упругостью, позволяющей при деформации всех частей данной системы вернуться в состояние покоя, совершая некоторую работу над телами, с которыми соприкасается физический объект. На работу сил упругости не влияет форма траектории движения, так как работа, совершаемая за счет них, зависит лишь от положения тела в начале и в конце движения.

Когда действуют внешние силы

Но закон сохранения не распространяется на реальные процессы, в которых участвует сила трения. В пример можно привести падающий на землю предмет. Во время столкновения кинетическая энергия и сила сопротивления возрастают. Этот процесс не вписывается в рамки механики, так как из-за возрастающего сопротивления повышается температура тела. Из вышесказанного следует вывод о том, что закон сохранения энергии в механике имеет серьезные ограничения.

Термодинамика

Первый закон термодинамики гласит: разность между количеством теплоты, накапливаемой благодаря работе, совершаемой над внешними объектами, равна изменению внутренней энергии данной неконсервативной термодинамической системы.

Но это утверждение чаще всего формулируется в другом виде: количество теплоты, полученное термодинамической системой, тратится на работу, совершаемую над объектами, находящимися вне системы, а также на изменение количества энергии внутри системы. Согласно данному закону, она не может исчезнуть, превращаясь из одной формы в другую. Из этого следует вывод о том, что создание машины, не потребляющей энергии (так называемого вечного двигателя), невозможно, так как система будет нуждаться в энергии извне. Но многие все же настойчиво пытались создать ее, не учитывая закон сохранения энергии.

Пример проявления закона сохранения в термодинамике

Опыты показывают, что термодинамические процессы невозможно обратить вспять. Примером тому может служить соприкосновение тел, имеющих различную температуру, при котором более нагретое будет отдавать тепло, а второе - принимать его. Обратный же процесс невозможен в принципе. Другим примером является переход газа из одной части сосуда в другую после открытия между ними перегородки, при условии что вторая часть пуста. Вещество в данном случае никогда не начнет движение в обратном направлении самопроизвольно. Из вышесказанного следует, что любая термодинамическая система стремится к состоянию покоя, при котором ее отдельные части находятся в равновесии и имеют одинаковую температуру и давление.

Гидродинамика

Применение закона сохранения в гидродинамических процессах выражается в принципе, описанном Бернулли. Он звучит так: сумма давления как кинестетической, так и потенциальной энергии на единицу объема одна и та же в любой отдельно взятой точке потока жидкости или газа. Это значит, что для измерения скорости потока достаточно измерить давление в двух точках. Делается это, как правило, манометром. Но закон Бернулли справедлив только в том случае, если рассматриваемая жидкость имеет вязкость, которая равна нулю. Для того чтобы описать течение реальных жидкостей, используется интеграл Бернулли, предполагающий добавление слагаемых, которые учитывают сопротивление.

Электродинамика

Во время электризации двух тел количество электронов в них остается неизменным, из-за чего положительный заряд одного тела равен по модулю отрицательному заряду другого. Таким образом, закон сохранения электрического заряда говорит о том, что в электрически изолированной системе сумма зарядов ее тел не изменяется. Это утверждение верно и тогда, когда заряженные частицы испытывают превращения. Таким образом, когда сталкиваются 2 нейтрально заряженные частицы, сумма их зарядов все равно остается равной нулю, так как вместе с отрицательно заряженной частицей появляется и положительно заряженная.

Заключение

Закон сохранения механической энергии, импульса и момента - фундаментальные физические законы, связанные с однородностью времени и его изотропностью. Они не ограничены рамками механики и применимы как к процессам, происходящим в космическом пространстве, так и к квантовым явлениям. Законы сохранения позволяют получать данные о различных механических процессах без их изучения при помощи уравнений движения. Если какой-то процесс в теории игнорирует данные принципы, то проводить опыты в таком случае бессмысленно, так как они будут нерезультативными.

При имеющейся замкнутой механической системе тела взаимодействуют посредством сил тяготения и упругости, тогда их работа равняется изменению потенциальной энергии тел с противоположным знаком:

A = – (E р 2 – E р 1) .

Следуя из теоремы о кинетической энергии, формула работы примет вид

A = E k 2 - E k 1 .

Отсюда следует, что

E k 2 - E k 1 = – (E р 2 – E р 1) или E k 1 + E p 1 = E k 2 + E p 2 .

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел , составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной .

Данное утверждение выражает закон сохранения энергии в замкнутой системе и в механических процессах, являющийся следствием законов Ньютона.

Определение 2

Закон сохранения энергии выполняется при взаимодействии сил с потенциальными энергиями в замкнутой системе.

Пример N

Примером применения такого закона служит нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, которая удерживает тесло с массой m , вращая его вертикально относительно плоскости (задачи Гюйгенса). Подробное решение изображено на рисунке 1 . 20 . 1 .

Рисунок 1 . 20 . 1 . К задаче Гюйгенса, где F → принимается за силу натяжения нити в нижней точке траектории.

Запись закона сохранения полной энергии в верхней и нижней точках принимает вид

m v 1 2 2 = m v 2 2 2 + m g 2 l .

F → располагается перпендикулярно скорости тела, отсюда следует вывод, что она не совершает работу.

Если скорость вращения минимальная, то натяжение нити верхней точке равняется нулю, значит, центростремительное ускорение может быть сообщено только при помощи силы тяжести. Тогда

m v 2 2 l = m g .

Исходя из соотношений, получаем

v 1 m i n 2 = 5 g l .

Создание центростремительного ускорения производится силами F → и m g → с противоположными направлениями относительно друг друга. Тогда формула запишется:

m v 1 2 2 = F - m g .

Можно сделать вывод, что при минимальной скорости тела в верхней точке натяжение нити будет равняться по модулю значению F = 6 m g .

Очевидно, что прочность нити обязана превышать значение.

С помощью закона сохранения энергии посредством формулы можно получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории, не используя анализ закона движения тела во всех промежуточных точках. Данный закон позволяет заметно упрощать решение задач.

Реальные условия для движущихся тел предполагают действия сил тяготения, упругости, трения и сопротивления данной среды. Работа силы трения зависит от длины пути, поэтому она не является консервативной.

Между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, тогда механическая энергия не сохраняется, ее часть переходит во внутреннюю. Любые физические взаимодействия не провоцируют возникновение или исчезновение энергии. Она переходит из одной формы в другую. Данный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии .

Следствием является утверждение о невозможности создания вечного двигателя (perpetuum mobile) – машины, которая совершала бы работу и не расходовала энергию.

Рисунок 1 . 20 . 2 . Проект вечного двигателя. Почему данная машина не будет работать?

Существует большое количество таких проектов. Они не имеют право на существование, так как при расчетах отчетливо видны одни ошибки конструкций всего прибора, другие замаскированы. Попытки реализовать такую машину тщетны, так как они противоречат закону сохранения и превращения энергии, поэтому нахождение формулы не даст результатов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Механическую, ядерную, электромагнитную, и т.д. Однако пока будем рассматривать только одну ее форму - механическую. Тем более что с точки зрения истории развития физики, она начиналась с изучения сил и работы. На одном из этапов становления науки был открыт закон сохранения энергии.

При рассмотрении механических явлений используют понятия кинетической и Экспериментально установлено, что энергия не исчезает бесследно, из одного вида она превращается в другой. Можно считать, что сказанное в самом общем виде формулирует закон сохранения

Сначала надо отметить, что в сумме потенциальная и тела называются механической энергией. Далее необходимо иметь в виду, что закон сохранения справедлив при отсутствии внешнего воздействия и дополнительных потерь, вызванных, например, преодолением сил сопротивления. Если какое-то из этих требований нарушено, то при изменении энергии будут происходить ее потери.

Самый простой эксперимент, подтверждающий указанные граничные условия, каждый может провести самостоятельно. Поднимите мячик на высоту и отпустите его. Ударившись об пол, он подскочит и потом опять упадет на пол, и опять подскочит. Но с каждым разом высота его подъема будет меньше и меньше, пока мяч не замрет неподвижно на полу.

Что мы видим в этом опыте? Когда мяч неподвижен и находится на высоте, он обладает только потенциальной энергией. Когда начинается падение, у него появляется скорость, и значит, появляется кинетическая энергия. Но по мере падения высота, с которой началось движение, становится меньше и, соответственно, становится меньше его потенциальная энергия, т.е. она превращается в кинетическую. Если провести расчёты, то выяснится, что значения энергии равны, а это означает, что закон сохранения энергии при таких условиях выполняется.

Однако в подобном примере есть нарушения двух ранее установленных условий. Мяч движется в окружении воздуха и испытывает сопротивление с его стороны, пусть и небольшое. И энергия затрачивается на преодоление сопротивления. Кроме того, мяч сталкивается с полом и отскакивает, т.е. он испытывает внешнее воздействие, а это второе нарушение граничных условий, которые необходимы, чтобы закон сохранения энергии был справедлив.

В конце концов скачки мяча прекратятся, и он остановится. Вся имеющаяся первоначальная энергия окажется потраченной на преодоление сопротивления воздуха и внешнего воздействия. Однако кроме превращения энергии окажется выполненной работа по преодолению сил трения. Это приведёт к нагреванию самого тела. Зачастую величина нагрева не очень значительная, и ее можно определить только при измерении точными приборами, но подобное изменение температуры существует.

Кроме механической, есть и другие виды энергии - световая, электромагнитная, химическая. Однако для всех разновидностей энергии справедливо, что из одного вида возможен переход в другой, и что при таких превращениях суммарная энергия всех видов остаётся постоянной. Это является подтверждением всеобщего характера сохранения энергии.

Здесь надо учесть, что переход энергии может означать и её бесполезную потерю. При механических явлениях свидетельством этого будет нагрев окружающей среды или взаимодействующих поверхностей.

Таким образом, простейшее механическое явление позволило нам определить закон сохранения энергии и граничные условия, обеспечивающие его выполнение. Была установлено, что осуществляется из имеющегося вида в любой другой, и выявлен всеобщий характер упомянутого закона.

механической энергии. Превращения энергии

Поскольку движение и взаимодействие взаимосвязаны (взаимодействие определяет движение материальных объектов, а движение объектов, в свою очередь, влияет на их взаимодействие), то должна быть единая мера, характеризующая движение и взаимодействие материи.

Энергия и является единой скалярной количественной мерой различных форм движения и взаимодействия материи. Различным формам движения и взаимодействия соответствуют различные виды энергии: механическая, внутренняя, электромагнитная, ядерная и т.д. Простейшим видом энергии, соответствующим простейшей - механической - форме движения и взаимодействия материи, является механическая энергия.

Одним из наиболее важных законов всего естествознания является всеобщий закон сохранения энергии . Он утверждает, что энергия не возникает ниоткуда и не исчезает бесследно, а лишь переходит из одной формы в другую.

Закон сохранения механической энергии есть частный случай всеобщего закона сохранения энергии.

Полная механическая энергия материальной точки (частицы) и системы частиц складывается из двух частей. Первая составляющая энергии частицы обуславливается ее движением, называется кинетической энергией и вычисляется по формуле

где m - масса частицы, - ее скорость.

Кинетическая энергия частицы изменяется, если при движении частицы на нее действует сила (силы), совершающая работу.

В простейшем случае, когда сила постоянна по величине и по направлению, а траектория движения прямолинейна, то работаA , совершаемая этой силой при перемещении
, определяется по формуле

где s - пройденный путь, равный при прямолинейном движении модулю перемещения
,
- скалярное произведение векторови
, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла
между ними.

Работа может быть положительной, если угол
острый (
90°), отрицательной, если угол
тупой (90°
180°), и может быть равна нулю если угол
прямой (
=90°).

Можно доказать, что изменение кинетической энергии
частицы при ее перемещении из точки 1 в точку 2 равно сумме работ, совершенных всеми силами, действующими на эту частицу, при данном перемещении:

, (6.13)

где
- кинетическая энергия частицы в начальной и в конечной точках,- работа, совершенная силой(i =1, 2, ... n ) при данном перемещении.

Кинетической энергией системы
изN частиц называется сумма кинетических энергий всех частиц системы. Ее изменение при любом изменении конфигурации системы, то есть произвольном перемещении частиц, равно суммарной работе
, совершенной всеми силами, действующими на частицы системы, при их перемещениях:

. (6.14)

Второй составляющей механической энергии является энергия взаимодействия, называемая потенциальной энергией. В механике понятие потенциальной энергии может быть введено не для любых взаимодействий, а лишь для определенного их класса.

Пусть в каждой точке пространства, где может находиться частица, на нее в результате взаимодействия с другими телами действует сила, зависящая только от координат x, y, z частицы и, возможно, от времени t :
. Тогда говорят, что частица находится в силовом поле взаимодействия с другими телами. Примеры: материальная точка, движущаяся в гравитационном поле Земли; электрон, движущийся в электростатическом поле неподвижного заряженного тела. В этих примерах сила, действующая на частицу, в каждой точке пространства от времени не зависит:
. Такие поля называются стационарными.

Если же, например, электрон будет находиться в электрическом поле конденсатора, напряжение между обкладками которого изменяется, то в каждой точке пространства сила будет зависеть и от времени:
. Такое поле называется нестационарным.

Сила, действующая на частицу, называется консервативной, а соответствующее поле – полем консервативной силы, если работа, совершаемая этой силой при перемещении частицы по произвольному замкнутому контуру, будет равна нулю.

К консервативным силам и соответствующим полям относятся сила всемирного тяготения и, в частности, сила тяжести (гравитационное поле), сила Кулона (электростатическое поле), сила упругости (поле сил, действующих на тело, прикрепленное к некоторой точке упругой связью).

Примерами неконсервативных сил являются сила трения, сила сопротивления среды движению тела.

Только для взаимодействий, которым соответствуют консервативные силы, может быть введено понятие потенциальной энергии.

Под потенциальной энергией
механической системы понимается величина, убыль которой (разность начального и конечного значений) при произвольном изменении конфигурации системы (изменении положения частиц в пространстве) равна работе
, совершаемой при этом всеми внутренними консервативными силами, действующими между частицами этой системы:

, (6.15)

где
- потенциальная энергия системы в начальной и конечной конфигурации.

Заметим, что убыль
равна с обратным знаком приращению (изменению)
потенциальной энергии и поэтому соотношение (6.15) можно записать в виде

. (6.16)

Такое определение потенциальной энергии системы частиц позволяет находить ее изменение при изменении конфигурации системы, но не само значение потенциальной энергии системы при заданной конфигурации. Поэтому во всех конкретных случаях уславливаются, при какой конфигурации системы (нулевой конфигурации) ее потенциальная энергия
принимается равной нулю (
). Тогда потенциальная энергия системы при любой ее конфигурации
, а из (6.15) следует, что

, (6.17)

то есть потенциальная энергия системы частиц некоторой конфигурации равна работе
, совершаемой внутренними консервативными силами при изменении конфигурации системы от данной до нулевой.

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести вблизи поверхности Земли, принимается равной нулю при нахождении тела на поверхности Земли. Тогда потенциальная энергия притяжения к Земле тела, находящегося на высоте h , равна работе силы тяжести
, совершаемой при перемещении тела с этой высоты на поверхность Земли, то есть на расстояниеh по вертикали:

Потенциальная энергия тела, прикрепленного к фиксированной точке упругой связью (пружиной), принимается равной нулю при недеформированной связи. Тогда потенциальная энергия упруго деформированной (растянутой или сжатой на величину
) пружины с коэффициентом жесткостиk равна

. (6.19)

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия материальных точек и электростатического взаимодействия точечных зарядов принимается равной нулю, если эти точки (заряды) удалены на бесконечное расстояние друг от друга. Поэтому энергия гравитационного взаимодействия материальных точек массами и
, находящихся на расстоянииr друг от друга, равна работе силы всемирного тяготения
, совершенной при изменении расстоянияx между точками от x=r до
:

. (6.20)

Из (6.20) следует, что потенциальная энергия гравитационного взаимодействия материальных точек при указанном выборе нулевой конфигурации (бесконечном удалении) оказывается отрицательной при размещении точек на конечном расстоянии друг от друга. Это связано с тем, что сила всемирного тяготения есть сила притяжения, и ее работа при удалении точек друг от друга отрицательна. Отрицательность потенциальной энергии означает, что при переходе этой системы из произвольной конфигурации в нулевую (при удалении точек с конечного расстояния на бесконечное) ее потенциальная энергия увеличивается.

Аналогично, потенциальная энергия электростатического взаимодействия точечных зарядов в вакууме равна

(6.21)

и отрицательна для притягивающихся разноименных зарядов (знаки иразличны) и положительна для отталкивающихся одноименных зарядов (знакииодинаковы).

Полной механической энергией системы (механической энергией системы)
называется сумма ее кинетической и потенциальной энергий

. (6.22)

Из (6.22) следует, что изменение полной механической энергии складывается из изменения ее кинетической и потенциальной энергии

Подставим в формулу (6.33) формулы (6.14) и (6.16). В формуле (6.14) общую работу
всех сил, действующих на точки системы, представим как сумму работы сил, внешних по отношению к рассматриваемой системе,
и работы внутренних сил, которая, в свою очередь, складывается из работы внутренних консервативных и неконсервативных сил,

:

После подстановки получим, что

Для замкнутой системы
0. Если система к тому же консервативна, то есть в ней действуют только внутренние консервативные силы, то и
=0. В этом случае уравнение (6.24) принимает вид
, а это означает, что

Уравнение (6.2) есть математическая запись закона сохранения механической энергии, который гласит: полная механическая энергия замкнутой консервативной системы постоянна, то есть не изменяется со временем.

Условие
0 выполняется, если в системе действуют и неконсервативные силы, но их работа равна нулю, как, например, при наличии сил трения покоя. В этом случае для замкнутой системы закон сохранения механической энергии также применим.

Отметим, что при
отдельные слагаемые механической энергии: кинетическая и потенциальная энергия, - не обязаны оставаться постоянными. Они могут изменяться, что сопровождается совершением работы консервативными внутренними силами, но изменения потенциальной и кинетической энергии
и
равны по модулю и противоположны по знаку. Например, за счет совершения внутренними консервативными силами работы над частицами системы ее кинетическая энергия возрастет, но при этом на равную величину уменьшится ее потенциальная энергия.

Если же в системе совершают работу неконсервативные силы, то это обязательно сопровождается взаимными превращениями механической и иных видов энергии. Так, совершение работы неконсервативными силами трения скольжения или сопротивления среды обязательно сопровождается выделением тепла, то есть переходом части механической энергии во внутреннюю (тепловую) энергию. Неконсервативные силы, работа которых приводит к переходу механической энергии в тепловую, называются диссипативными, а сам процесс перехода механической энергии в тепловую - диссипацией механической энергии.

Есть множество неконсервативных сил, работа которых, напротив, ведет к увеличению механической энергии системы за счет иных видов энергии. Например, в результате химических реакций происходит взрыв снаряда; при этом осколки получают прибавку механической (кинетической) энергии за счет работы неконсервативной силы давления расширяющихся газов - продуктов взрыва. В этом случае посредством совершения работы неконсервативных сил произошел переход химической энергии в механическую. Схема взаимных превращений энергии при совершении работы консервативными и неконсервативными силами представлена на рисунке 6.3.

Таким образом, работа есть количественная мера превращения одних видов энергии в другие. Работа консервативных сил равна количеству потенциальной энергии, перешедшей в кинетическую или наоборот (общая механическая энергия при этом не изменяется), работа неконсервативных сил равна количеству механической энергии, перешедшей в другие виды энергии или наоборот.

Рисунок 6.3 - Схема превращений энергии.

Всеобщий закон сохранения энергии фактически есть закон неуничтожимости движения в природе, а закон сохранения механической энергии - закон неуничтожимости механического движения при определенных условиях. Изменение же механической энергии при невыполнении этих условий не означает уничтожения движения или его появления ниоткуда, а свидетельствует о превращении одних форм движения и взаимодействия материи в другие.

Обратим внимание на отличие обозначений бесконечно малых величин. Например, dx обозначает бесконечно малое приращение координаты,
- скорости,dE – энергии, а бесконечно малую работу обозначают
. Это отличие имеет глубокий смысл. Координаты и скорость частицы, ее энергия и многие другие физические величины являются функциями состояния частицы (системы частиц), то есть определяются текущим состоянием частицы (системы частиц) и не зависят от того, какими были предшествующие состояния, и от того, каким способом частица (система) пришла в текущее состояние. Изменение такой величины можно представить как разность значений этой величины в конечном и начальном состояниях. Бесконечно малое изменение такой величины (функции состояния) называется полным дифференциалом и для величиныX обозначается dX .

Такие же величины, как работа или количество теплоты, характеризуют не состояние системы, а способ, которым был реализован переход из одного состояния системы в другое. Например, говорить о наличии работы у системы частиц в каком-то заданном состоянии бессмысленно, но можно говорить о работе, совершенной силами, действующими на систему, при ее переходе из одного состояния в другое. Таким образом, не имеет смысла говорить и о разности значений такой величины в конечном и начальном состояниях. Бесконечно малое количество величины Y , не являющейся функцией состояния, обозначается
.

Отличительным признаком функций состояния является то, что их изменения в процессах, в которых система, выйдя из исходного состояния, в него же и возвращается, равны нулю. Механическое состояние системы частиц задается их координатами и скоростями. Поэтому, если в результате некоторого процесса механическая система возвращается в исходное состояние, то координаты и скорости всех частиц системы принимают первоначальные значения. Механическая энергия, как величина, зависящая только от координат и скоростей частиц, также примет исходное значение, то есть не изменится. В то же время работа, совершенная силами, действующими на частицы, будет отлична от нуля, причем ее значение может быть разным в зависимости от вида траекторий, описанных частицами системы.

В 1018 г.Эмми Нётер, немецкий физик и математик, доказал фундаментальную теорему физики, которую в упрощённом виде можно сформулировать так: каждому свойству симметрии пространства и времени соответствует свой закон сохранения. В частности, как следует из теоремы (теоремы Нётер ) однородности времени должен соответствовать закон сохранения энергии: при любых процессах, происходящих в замкнутой консервативной системе, её полная механическая энергия не изменяется.

Элементарная работа потенциальных сил равна взятому с обратным знаком эле­ментарному изменению потенциальной энергии dA= -dE п. Так как иных сил в системе нет, то та же элементарная работа равна элементарному изменению кинетической энергии dA= dE к. По­этому можем записать

dE к + dE п = 0,

d(Е к + Е п) = 0. (2.34) Обозначим

Е к + Е п = Е (2.35)

здесь Е - полная механическая энергия . Из (2.39) видим, что полная механическая энергия остается постоянной:

При решении задач в механике удобно пользоваться законом сохранения энергии в виде

ΔE к = ΔE п или Е к1 + Е п1 = Е к2 + Е п2 . (2.37) здесь Е к1 и Е п1 , - соответственно кинетическая и потенциальная энергии тела (системы) в начальном положении; Е к2 и Е п2 - то же для конечного положения тела (системы).

Закон сохранения энергии в механике является частным случаем более общего закона сохранения и превращения энергии, который является одним из основных законов природы.

В земных условиях невозможно указать консервативную систему, хотя бы потому, что всегда действуют силы трения и сопротивления (диссипативные силы), происходит уменьшение механической энергии (диссипация энергии). В этом случае механическая энергия уже не будет оставаться постоянной; она будет изменяться, и её изменение, как это видно из формулы (2.38) будет складываться из изменения кинетической энергии ΔE к, и изменения потенциальной энергии ΔE п:

ΔЕ= ΔE к,+ ΔE п.. (2.38)

Учитывая соотношения (2.27) и (2.32), выражающие теорему о кинетической и потенциальной энергиях, последнее равенство можно переписать так:

ΔЕ= А пот +А дис -А пот = А дис. (2.39)

Изменение полной механической энергии неконсервативной системы равно сумме работы диссипативных сил .

Так как диссипативные силы направлены противоположно перемещению, то работа этих сил отрицательна и, следовательно, механическая энергия системы уменьшается.

§2.9 Столкновение тел

Столкновение тел – одно из наиболее часто встречающихся явлений в жизни. При столкновении происходит их кратковременное взаимодействие, сопровождающееся как деформацией, так и изменением направления их движения. Особый интерес представляют два вида столкновений – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Простейшим видом соударения является центральный удар тел. При этом ударе тела движутся только поступательно, их скорость направлена по прямой, соединяющей центры масс.

Абсолютно неупругий удар . Так называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно целое. Например, столкновение слипающихся пластилиновых шариков; попадание ружейной пули в ящик с песком и т.д.

Пусть один из шаров массойm 1 догоняет другой массой m 2 (рис. 2.12).

Можно записать

m 1 υ 1 +m 2 υ 2 =(m 1 +m 2)υ (2.40)

откуда
(2.41)

здесь υ 1 и υ 2 - скорости взаимодействующих шаров до удара; υ - их скорость после удара.

Направления векторов скоростей в общем случае определяются правилом : скорости положительны, если направлены вдоль оси ОХ, и отрицательны, если направлены противоположно.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Если массы шаров равны (m 1 = m 2), то из (2.45) получим

(2.42)

2. Удар шара о стенку. Неподвижное тело (стенка) (υ 2 = 0) значительно массивнее шара (m 2 » m 1), тогда

(2.43)

т.е. налетевшее тело остановится после абсолютно неупругого удара, при этом υ 2 считаем не слишком большой.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия шаров не сохраняется, так как в системе действуют диссипативные силы и происходит потеря кинетической энергии, в результате чего механическая энергия системы уменьшается, переходя во внутреннюю энергию ΔЕ сталкивающихся тел (которые при этом нагреваются). Но закон сохранения полной энергии выполняется, т.е. сумма всех видов энергии замкнутой системы тел до и после столкновений остаётся неизменной:

(2.44)

Абсолютно упругий удар . Так называется столкновение тел, в результате которого не происходит соединения тел в одно целое и их внутренние энергии остаются неизменными. При абсолютно упругом ударе сохраняется не только импульс, но и механическая энергия системы.

К абсолютно упругому удару можно применить закон сохранения механической энергии:

(2.45)

где m 1 и m 2 - массы взаимодействующих шаров; υ 1 , υ 2 – их скорости до удара; u 1 , u 2 - после удара.

По тем же причинам, которые были изложены для абсолютно неупругого удара, к этому случаю можно применить и закон сохранения импульса:

m 1 υ 1 + m 2 υ 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2 (2.46)

Решая совместно уравнения (2.49) и (2.50), получим

(2.47)

(2.48)